Menyelesaikan Persamaan Kuadrat yang Akarnya memiliki Nilai Akar Dua

Soal

Persamaan kuadrat x²+ax+b=0, memiliki salah satu akar 1-√2, dengan b ialah bilangan real positif. Berapakah nilai minimum a, jika a adalah bilangan bulat?

A. -2	C. 0	E. 2
B. -1	D. 1

Solusi

Langkah 1

Berdasarkan persamaan kuadrat untuk nilai akar-akarnya x₁ dan x₂, yaitu persamaan:

(x-x1)(x-x2)	=	0
x2-(x1+x2)x+x1x2	=	0

Soal di atas dapat ditarik asumsi bahwa x₁=1-√2. Kemudian jika diambil persamaan:

x2-(x1+x2)x+x1x2

=

x2+ax+b=0

maka

-(x1+x2)	=	a	.....(1)
x1x2	=	b	.....(2)

Langkah 2

Dari persamaan 1 didapat

-(x1+x2)	=	a
x2	=	-a-x1	.....(3)

Langkah 3

Dengan mensubstitusikan persamaan 3 ke persamaan 2:

x1x2	=	b
x1(-a-x1)	=	b	.....(4)

karena b bilangan real positif, maka b>0 dan persamaan 4 menjadi:

x1(-a-x1)

>

0

sehingga

(-a-x1)	>	0
atau
(a+x1)	<	0	.....(5)

oleh karena itu, nilai a adalah:

a	<	-x1
a	<	-(1-√2)
a	<	(√2-1)

dengan memperkirakan nilai √2>1 yaitu √2=1.414, maka dapat ditarik kesimpulan bahwa nilai a<0.4, atau nilai minimum a dalam bilangan bulat adalah 0. Jawaban C.