Penyelesaian Soal Matematika

Soal Persamaan kuadrat x 2 +ax+b=0, memiliki salah satu akar 1-√2, dengan b ialah bilangan real positif. Berapakah nilai minimum a, jika a adalah bilangan bulat? A. -2 C. 0 E. 2 B. -1 D. 1 Solusi Langkah 1 Berdasarkan persamaan kuadrat untuk nilai akar-akarnya x 1 dan x 2 , yaitu persamaan: (x-x 1 )(x-x 2 ) = 0 x 2 -(x 1 +x 2 )x+x 1 x 2 = 0 Soal di atas dapat ditarik asumsi bahwa x 1 =1-√2. Kemudian jika diambil persamaan: x 2 -(x 1 +x 2 )x+x 1 x 2   = x 2 +ax+b=0 maka -(x 1 +x 2 ) = a .....(1) x 1 x 2 = b .....(2) Langkah 2 Dari persamaan 1 didapat -(x 1 +x 2 ) = a x 2 = -a-x 1 .....(3) Langkah 3 Dengan mensubstitusikan persamaan 3 ke persamaan 2: x 1 x 2 = b x 1 (-a-x 1 ) = b .....(4) karena b bilangan real positif, maka b>0 dan persamaan 4 menjadi: x 1 (-a-x 1 ) > 0 sehingga (-a-x 1 ) > 0 atau (a+x 1 ) < 0 .....(5) oleh karena itu, nilai a adalah: a < -x 1 a < -(1-√2) a < (√2-1) dengan

Soal Persamaan x 2 -25x+c=0 memiliki akar-akar yang keduanya berupa bilangan prima m dan n. Jika n>m maka 3m-n+c=... A. 2 C. 17 E. 29 B. 23 D. 11 Solusi Persamaan kuadrat yang memiliki nilai akar-akar m dan n adalah: (x-m)(x-n) = 0 x 2 -(m+n)x+mn = 0 dengan menyamakan dengan persamaan kuadrat pada soal di atas didapat: m+n = 25 ...(1) mn = c ...(2) Karena m dan n adalah bilangan prima dan n>m, maka pasangan bilangan prima yang cocok sesuai dengan persamaan 1 adalah m=2 dan n=23. Dan dari persamaan 2 didapat c=46. Sehingga 3m-n+c=29. Jawaban E.

Soal Jika a dan b adalah akar-akar dari x 2 -px+12=0, dan a=3b, maka nilai p adalah... A. 12 C. 16 E. 6 B. 2 D. 8 Solusi Step I (x-a)(x-b) = 0 x 2 -ax-bx+ab = 0 x 2 -(a+b)x+ab = 0 .....(1) Step II dari persamaan (1): x 2 -(a+b)x+ab = x 2 -px+12 = 0 -(a+b) = -p (a+b) = p .....(2) ab = 12 .....(3) Step III dari persamaan (3) ab = 12 b = 12/a .....(4) karena a=3b, maka dengan persamaan 4 dapat ditemukan: a = 3b a = 3(12/a) a 2 = 36 a = 6 .....(5) sehingga b = 12/a = 12/6 b = 2 .....(6) oleh karena itu dari persamaan (2) (a+b) = p (6+2) = p 8 = p p = 8 Jadi nilai yang ditemukan p=8, jawaban D.